如何运用图形计算器引导与促进学生学习

[03-21 02:00:40]   来源：http://www.wenxue9.com  教法研究   阅读：8318次

概要：一、典型案例分析（一）探索图象变换的规律在缺乏技术支持的环境中高一学生学习函数这一内容时，往往把函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法不能有效联系在一起用于解决问题，特别由数思形的能力更显不足。如何帮助学生更好地建立这种多元联系表示呢？笔者曾做过这样一个尝试：根据f(x)=-x2+7x-6的图象(图1)，探索y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象变换规律。按传统教法，这一内容一般是在高三复习教学时讲授，并且是直接告诉学生变换规律，还总结出口诀让学生记住：由f(x)图象“保上方，下翻上”得|f(x)|的图象(图2)；由f(x)图象“保右方，擦左方，右翻左”得f(|x|)的图象(图3)。由于结论是教师硬塞给学生的，学生往往不能很好地理解与掌握，运用时出错率高。现在引入技术后，学生可以运用图形计算器，直接画出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，再与y=f(x)图象进行比较： 学生觉得很有趣，惊奇于这一“麦当劳”式的图象；同时，通过列表发现自变量与因变量间的取值关系。这时，有的学生又输入了其

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一、典型案例分析

（一）探索图象变换的规律

在缺乏技术支持的环境中高一学生学习函数这一内容时，往往把函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法不能有效联系在一起用于解决问题，特别由数思形的能力更显不足。如何帮助学生更好地建立这种多元联系表示呢？笔者曾做过这样一个尝试：

根据f(x)=-x²+7x-6的图象(图1)，探索y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象变换规律。

按传统教法，这一内容一般是在高三复习教学时讲授，并且是直接告诉学生变换规律，还总结出口诀让学生记住：

由f(x)图象“保上方，下翻上”得|f(x)|的图象(图2)；

由f(x)图象“保右方，擦左方，右翻左”得f(|x|)的图象(图3)。

由于结论是教师硬塞给学生的，学生往往不能很好地理解与掌握，运用时出错率高。

现在引入技术后，学生可以运用图形计算器，直接画出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，再与y=f(x)图象进行比较：
 

学生觉得很有趣，惊奇于这一“麦当劳”式的图象；同时，通过列表发现自变量与因变量间的取值关系。这时，有的学生又输入了其它一些解析式进行探索。通过观察、比较，似乎发现了一些规律，只是缺乏概括总结。此时，教师不失时机提出：如果不用图形计算器，已知f(x)=(x-1)²-2分别作出y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象，并与y=f(x)的图象进行比较，总结变换规律。

这一猜想过程必须让学生经历，并且留充分的时间让学生去想去猜，通过互相交流，引起争论后，再让学生用图形计算器验证猜想是否正确。

通过一看二猜三验证的过程，发现了图象变换的规律，并对函数的三种表示方法的优缺点作了总结，这实际上让学生经历了观察、实验、猜想、验证、得出结论等这一探索规律的全过程。这说明图形计算器只要使用得当，是可以帮助学生学习的。

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(二) 探究两图象交点问题

学习完反函数概念和性质后，教师给出问题：

利用图形计算器，在直角坐标系中先作出函数的图象(图4)，然后作出函数y=b的图象，通过改变b的值，上下移动函数y=b的图象(图5)，观察它与函数的图象的交点个数，并加以论证。

拿到问题后，学生用图形计算器画出了的图象(图4)，并利用轨迹追踪功能得到：当x=1时,y_max=1; 当x=-1时,y_min=-1，由此观察到：

当b=±1时，与y=b有一个交点；

当-1<b<1时，与y=b有两个交点；

当b<-1或b>1时，与y=b没有交点。
 

学生对b=0没有考虑到，这时，教师是把结论直接告诉学生，还是让学生自己去发现问题呢？

教师接下来从方程的角度去引导学生思考问题：

与y=0.5图象有两个交点(x1 ,0.5),(x2 ,0.5),从方程的角度看，x1 ,x2应是哪个方程的两根？讨论与y=0.5的交点问题实质上是讨论哪个方程根的情况？

通过引导，学生得出如下结论：

与y=b联立消去y得，则 bx²-2x+b=0，

若x1 ,x2是方程的两根，则(x1 ,b)，(x2 , b)就是与y=b两图象交点。

若△=0，则b=±1,方程有两个相等的实数根；

若△>0，则-1<b<1,方程有两个不相等的实数根；

若△<0，则b<-1或b>1,方程没有实数根。

同学们发现，这个结论与刚才观察图象得出的结论是一样的，说明两函数图象交点问题可以用方程根的问题来刻画，从而让学生在动手实践、观察思考中体会了数形结合的思想。

此时，教师再提醒学生思考，以上推理有无疏漏？观察图象，检查有一个交点时，b的取值范围究竟是什么？

这时，有学生发现b=0时，两图象只有一个交点。从方程角度又如何理解呢？

对于方程bx²-2x+b=0，当b=0时，为一次方程，有一个根。因此,结论应修正为：

当b=-1,0,1时，与y=b图象有一个交点；

当-1<b<1且b10时，与y=b图象有两个交点；

当b<-1或b>1时，与y=b图象没有交点。

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至此，学生领悟了函数与方程间的内在联系。运用图形计算器作图观察、猜想，实现了函数的多元联系表示，从方程角度论证了猜想，并对疏漏进行了修正。

正当笔者准备总结时，一学生举手示意，原来他把刚才探究的函数变形为yx²-2x+y=0，解出，改写x，y得。他将两个解析式输入图形计算器，问：“老师，这是不是函数的反函数图象？反函数怎么会有两个？” (图6)
 

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