如何用导数研究函数的单调性？

[03-21 02:00:37]   来源：http://www.wenxue9.com  教法研究   阅读：8967次

概要：一、教学背景分析１．教学内容及地位函数单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质．学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段，在初中以具体函数为载体，从图形直观上感知单调性；第二阶段，在高中数学第一册书中，用运算的性质研究单调性；第三阶段，就是在本节课中，用导数的性质研究单调性．教材中2.4与2.5这两节是学习导数在函数中的应用，其中教材将单调性与极值归到了一节，而我为什么将单调性单独拿出来研究，主要从两个方面来考虑，一方面求极值和最值都是以单调性作为基础的，所以如果单调性研究透了求极值和最值就不困难了；另一方面根据近两年高考中文科多是利用导数来研究三次函数，所以想借助于本节课对三次函数的图象进行拓展．本课时的地位和作用：可以说本节课起到了承上启下的作用，既是对之前所学的2.3节多项式函数的导数的巩固理解，也是对之后将学习的函数的极值和最值的铺垫．2．课程标准中对这部分内容的要求要结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求多项式函数的单调区间．3．学情分析学生在前面的学习中

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一、教学背景分析

１．教学内容及地位

函数单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质．学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段，在初中以具体函数为载体，从图形直观上感知单调性；第二阶段，在高中数学第一册书中，用运算的性质研究单调性；第三阶段，就是在本节课中，用导数的性质研究单调性．教材中2.4与2.5这两节是学习导数在函数中的应用，其中教材将单调性与极值归到了一节，而我为什么将单调性单独拿出来研究，主要从两个方面来考虑，一方面求极值和最值都是以单调性作为基础的，所以如果单调性研究透了求极值和最值就不困难了；另一方面根据近两年高考中文科多是利用导数来研究三次函数，所以想借助于本节课对三次函数的图象进行拓展．

本课时的地位和作用：可以说本节课起到了承上启下的作用，既是对之前所学的2.3节多项式函数的导数的巩固理解，也是对之后将学习的函数的极值和最值的铺垫．

2．课程标准中对这部分内容的要求

要结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求多项式函数的单调区间．

3．学情分析

学生在前面的学习中，已经系统的研究了一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和三角函数等基本函数，尤其是对二次函数较为熟悉，但是，还没有利用导数研究一类函数的经验；本节课我们又拓展到了三次函数，由于它的图象性质情况较为复杂，学生在研究过程中较难理出头绪．另外，理解函数与其导函数的关系，需要学生有较高的理性思维能力，对于文科学生不可能一步到位．

　　针对上述问题的解决措施：利用学生熟悉的二次函数来研究三次函数，通过原函数和导函数的图象来刻画和加深学生对函数与导函数关系的理解．

二、教学目标

围绕课标的要求和高考中对这部分内容的考查制定了如下的教学目标：

1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理，会利用导数判断函数单调性；

2．通过利用导研究三次函数图象基本形状的过程，使学生进一步体会利用导数研究函数单调性的基本思想和方法；

3．通过探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

三、教学重、难点分析

　　根据课标的要求制定的教学重点是利用导数研究函数的单调性；根据学生的实际情况制定的教学难点是理解函数的单调性与导数的关系．

四、教学方法和教学手段

1．教学方法：本节课我采用引导发现式的教学方法，通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受．

2．教学手段：多媒体课件，尤其是几何画板的使用让学生更加直观的体会到原函数和导函数图象间的关系．

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五、教学过程

复习导入：导数的定义及几何意义，多项式函数的求导法则.

新课讲解：

 

引例　确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

 

通过本例中学生熟悉的二次函数回忆以前研究的通过观察图象的变化趋势和利用函数单调性的定义求函数单调区间的方法；本例的使用与教材是有区别的，教材中这道例题是直接运用求导的方法解决的，而我是用它起到一个启下的作用，下边的例题用这种方法解决不了了从而引出导数的方法．

 

例1　确定函数f(x)=2x³－6x²+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

 

学生用前边的两种方法很难解决这个问题，教师用几何画板画出原函数图像与导函数图象，通过观察函数图象引导学生去发现斜率的符号与单调性之间的关系，从而得出导函数的正负与单调性之间的关系，实现突出重点和突破难点的目的．

 

运用此例画出导函数即学生熟悉的二次函数的图象，通过导函数和原函数图象的对比找到两者之间的联系，从而得到做三次函数简图的方法．

 

课堂练习

 

1．确定下列函数的单调区间(1)y=x³－9x²+24x；(2)y=3x－x³．

 

通过此练习规范解题过程．

 

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